生活随笔

电动力学公式

2018-10-05 / Qualifying Exam

电动力学公式

目录

• 第一章 电磁现象的普遍规律
• 第二章 静电场
• 第三章 静磁场
• 第四章 电磁波的传播
• 第五章 电磁波的辐射
• 第六章 狭义相对论
• 第七章 带电粒子和电磁场的相互作用

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第一章 电磁现象的普遍规律

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• 库仑定律：

\[F=\frac{QQ'}{4\pi\varepsilon_0r^2},\ \ \ \ \ \vec{F}=\frac{QQ'}{4\pi\varepsilon_0r^3}\vec{r}\]

• 电场强度：

\[E=\sum_i\frac{Q_i}{4\pi\varepsilon_0r^2},\ \ \ \ \ \vec{E}=\sum_i\frac{Q_i\vec{r}_i}{4\pi\varepsilon_0r^3}\\\\ \vec{E}\left(x\right)=\int_V\frac{\rho\left(\vec{x}'\right)\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0r^3}\mathrm{d}V'\]

        其中\(x'\)、\(V'\)为表示源点，\(x\)表示场点

• 静电场的散度与高斯定理：

\[\oint_S\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{Q}{\varepsilon_0}\]

        其中\(Q\)为高斯面所包围的总电荷，写成微分形式有

\[\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\]

• 静电场的旋度为零，即有

\[\oint_L\cdot\mathrm{d}\vec{l}=0,\ \ \ \ \ \nabla\times\vec{E}=0\]

• 通过任意曲面\(S\)的总电流可以表示为

\[U=\int_S\vec{J}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\]

• 毕奥萨伐尔定律：

\[\vec{B}\left(\vec{x}\right)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\vec{J}\left(x'\right)\times\vec{r}}{r^3}\mathrm{d}V'\]

        对于细导线，有

\[\vec{B}\left(\vec{x}\right)=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint\frac{I\mathrm{d}\vec{l}\times\vec{r}}{r^3}\]

• 磁场的环量和旋度：

\[\oint_L\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=\mu_0I,\ \ \ \ \ \nabla\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}\]

• 麦克斯韦方程组：

        积分形式：

\[\left\{ \begin{aligned} &\oint_L\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\\\\ &\oint_L\vec{H}\cdot\mathrm{d}\vec{l}=I_f+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_S\vec{D}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\\\\ &\oint_S\vec{D}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=Q_f\\\\ &\oint_S\vec{B}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=0 \end{aligned} \right.\]

        微分形式：

\[\left\{ \begin{aligned} &\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\\\ &\nabla\times\vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\\\\ &\nabla\cdot\vec{D}=\rho\\\\ &\nabla\cdot\vec{B}=0 \end{aligned} \right.\]

• 介质的电极化：电极化强度矢量\(\vec{P}=\chi_e\varepsilon_0\vec{E}\)，电位移矢量\(\vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}+\vec{P}=\varepsilon\vec{E}\)，其中

\[\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0,\ \ \ \ \ \varepsilon_r=1+\chi_e\]

• 介质的磁化：磁化强度\(\vec{M}=\chi_M\vec{H}\)，磁场强度\(\vec{H}=\vec{B}/\mu_0-\vec{M}\)即\(\vec{B}=\mu_0\left(\vec{H}+\vec{M}\right)=\mu\vec{H}\)，其中

\[\mu=\mu_0\mu_r,\ \ \ \ \ \mu_r=1+\chi_M\]

• 电流密度与电场强度的关系为\(\vec{J}=\sigma\vec{E}\)

• 电场强度\(\vec{E}\)的切向连续，磁感应强度\(\vec{B}\)的法向连续。其它边值关系有

\[\left\{ \begin{aligned} \vec{e}_n\times\left(\vec{E}_2-\vec{E}_1\right)&=0\\\\ \vec{e}_n\times\left(\vec{H}_2-\vec{H}_1\right)&=\vec{\alpha}\\\\ \vec{e}_n\cdot\left(\vec{D}_2-\vec{D}_1\right)&=\sigma\\\\ \vec{e}_n\cdot\left(\vec{B}_2-\vec{B}_1\right)&=0 \end{aligned} \right.\]

• 电偶极子是一对间距为\(l\)、电荷量为\(q\)的点电荷，可由\(\vec{p}=q\vec{l}\)来表示。位于\(\vec{r}_0\)处的电偶极子在\(\vec{r}\)处产生的电势为

\[\varphi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\vec{p}\cdot\left(\vec{r}-\vec{r}_0\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}_0\right|^3}\]

        电偶极子从负电荷指向正电荷的方向为电偶极子的方向

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第二章 静电场

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• 静电场是无旋的，因此可以引入一个标势\(\varphi\)来描述静电场，有\(\vec{E}=-\nabla\varphi\)

• 对于点电荷，其空间电势为（若取无穷远处为势能零点）

\[\varphi\left(P\right)=\sum_i\frac{Q_i}{4\pi\varepsilon_0 r}\]

        对于连续分布的带电体，其空间电势为（若取无穷远处为势能零点）

\[\varphi\left(\vec{x}\right)=\int_V\frac{\rho\left(\vec{x}'\right)\mathrm{d}V}'{4\pi\varepsilon_0r}\]

• 导体内部不带静电荷；导体内部电场为零；导体表面为等势面

• 在球坐标中求解关于电势\(\varphi\)的拉普拉斯方程可得到其通解为

\[\begin{aligned} \varphi\left(R,\theta,\phi\right)=&\sum_{n,m}\left(a_{nm}+\frac{b_{nm}}{R^{n+1}}\right)P_n^m\left(\cos\theta\right)\cos m\phi\\\\ &+\sum_{n,m}\left(c_{nm}R^n+\frac{d_{nm}}{R^{n+1}}\right)P_n^m\left(\cos\theta\right)\sin m\phi \end{aligned}\]

        若体系对称，电势与方位角\(\varphi\)无关，则可将其表示为

\[\varphi=\sum_{n=0}\left(a_nR^n+\frac{b_n}{R^{n+1}}\right)P_n\left(\cos\theta\right)\]

        其中\(P_n\left(\cos\theta\right)\)为勒让德函数，有

\[\left\{ \begin{aligned} &P_0\left(\cos\theta\right)=1\\\\ &P_1\left(\cos\theta\right)=\cos\theta\\\\ &P_2\left(\cos\theta\right)=\frac{1}{2}\left(3\cos^2\theta-1\right)\\\\ &P_3\left(\cos\theta\right)=\frac{1}{2}\left(5\cos^2\theta-3\right)\\\\ &\dotsb\dotsb \end{aligned} \right.\]

• 在使用电势法求解电场分布时，可根据边界条件

\[\left\{ \begin{aligned} \varphi_1&=\varphi_2\\\\ \varepsilon_1\frac{\partial \varphi_1}{\partial r}&=\varepsilon_2\frac{\partial \varphi_2}{\partial r} \end{aligned} \right.\]

        来消去待定系数

• 半径为\(R_0\)的导体球对于位于\(a\)处的一点电荷的感应电荷\((Q',b)\)为

\[Q'=-\frac{R_0}{a}Q,\ \ \ \ \ b=\frac{R_0^2}{a}\]

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第三章 静磁场

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• 磁矢势

\[\vec{A}\left(\vec{x}\right)=\frac{\mu}{4\pi}\int_V\frac{\vec{J}\left(\vec{x}'\right)\mathrm{d}V'}{r}=\frac{\mu}{4\pi}\int_l\frac{I\mathrm{d}\vec{l}}{r}\]

• 磁感应强度\(\vec{B}\)和磁矢势\(\vec{A}\)的关系为

\[\vec{B}=\nabla\times\vec{A}\]

• 在没有电流元的地方，可以引入磁标势，则磁场强度可以表示为\(\vec{H}=-\nabla\varphi_m\)，有

\[\mathrm{d}\varphi_m=\frac{\mathrm{d}\vec{m}\cdot\vec{r}}{4\pi r^3}=\frac{I}{4\pi}\frac{\vec{r}\cdot\mathrm{d}\vec{S}'}{r^3}=\frac{I}{4\pi}\mathrm{d}\Omega\]

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第四章 电磁波的传播</h40>

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• 在真空中，若设电流密度\(\vec{J}\)和电荷密度\(\rho\)为\(0\)，则麦克斯韦方程组可以表示为

\[\left\{ \begin{aligned} &\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\\\ &\nabla\times\vec{H}=\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\\\\ &\nabla\cdot\vec{D}=0\\\\ &\nabla\cdot\vec{B}=0 \end{aligned} \right.\]

        联立1、2式有

\[\left\{ \begin{aligned} &\nabla^2\vec{E}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}=\nabla^2\vec{E}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}=0\\\\ &\nabla^2\vec{B}-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2\vec{B}}{\partial t^2}=\nabla^2\vec{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{B}}{\partial t^2}=0 \end{aligned} \right.\]

        其中利用了公式

\[\nabla\times\left(\nabla\times\vec{E}\right)=\nabla\left(\nabla\cdot\vec{E}\right)-\nabla^2\vec{E}=-\nabla^2\vec{E}\\\\ \nabla\times\left(\nabla\times\vec{B}\right)=\nabla\left(\nabla\cdot\vec{B}\right)-\nabla^2\vec{B}=-\nabla^2\vec{B}\]

• 考虑角频率为\(\omega\)的电磁波，则其电场和磁场可以表示为

\[\left\{ \begin{aligned} \vec{E}\left(\vec{x},t\right)&=\vec{E}\left(x\right)\mathrm{e}^{-i\omega t}\\\\ \vec{B}\left(\vec{x},t\right)&=\vec{B}\left(x\right)\mathrm{e}^{-i\omega t} \end{aligned} \right.\]

        代入麦克斯韦方程组，则有

\[\left\{ \begin{aligned} &\nabla\times\vec{E}=i\omega\mu\vec{H}\\\\ &\nabla\times\vec{H}=-i\omega\varepsilon\vec{E}\\\\ &\nabla\cdot\vec{E}=0\\\\ &\nabla\cdot\vec{H}=0 \end{aligned} \right.\]

        联立1、2式有

\[\nabla\times\left(\nabla\times\vec{E}\right)=\omega^2\mu\varepsilon\vec{E}\Leftrightarrow\nabla^2\vec{E}+k^2\vec{E}=0\]

        其中\(k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\)。解出\(\vec{E}\)后，\(\vec{B}\)可以表示为

\[\vec{B}=-\frac{i}{k}\sqrt{\mu\varepsilon}\nabla\times\vec{E}\]

• 考虑平面电磁波的表达式

\[\left\{ \begin{aligned} \vec{E}\left(\vec{x},t\right)&=\vec{E}_0\mathrm{e}^{i\left(\vec{k}\cdot\vec{x}-\omega t\right)}\\\\ \vec{B}\left(\vec{x},t\right)&=\vec{B}_0\mathrm{e}^{i\left(\vec{k}\cdot\vec{x}-\omega t\right)} \end{aligned} \right.\]

        则\(\vec{B}\)与\(\vec{E}\)的关系为

\[\vec{B}=-\frac{i}{k}\sqrt{\mu\varepsilon}\nabla\times\vec{E}=\sqrt{\mu\varepsilon}\frac{\vec{k}}{k}\times\vec{E}=\sqrt{\mu\varepsilon}\vec{e}_k\times\vec{E}=\frac{1}{v}\vec{e}_k\times\vec{E}\]

        因此平面电磁波电场与磁场的振幅比为

\[\left|\frac{\vec{E}}{\vec{B}}\right|=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}=v\\\\ \left|\frac{\vec{E}}{\vec{B}}\right|=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}=c\]

• 电磁波在介质界面处会发生折射和反射。设电磁波沿\(z\)方向从介质1入射到介质2，二者的相对介电常数分别为\(\varepsilon_1\)和\(\varepsilon_2\)，介质光速分别为\(v_1\)和\(v_2\)，电磁波入射角、反射角和折射角分别为\(\theta_0\)、\(\theta_1\)和\(\theta_2\)，则由于电场强度\(\vec{E}\)在界面处的切向分量连续，有

\[\vec{e}_n\times\left(\vec{E}_0\mathrm{e}^{i\vec{k}_0\cdot\vec{r}}+\vec{E}_1\mathrm{e}^{i\vec{k}_2\cdot\vec{r}}\right)=\vec{e}_n\times\vec{E}_2\mathrm{e}^{i\vec{k}_2\cdot\vec{r}}\]

        由于\(\vec{r}\)的任意性，上式成立的条件是

\[\vec{k}_0\cdot\vec{r}=\vec{k}_1\cdot\vec{r}=\vec{k}_2\cdot\vec{r}\]

        设电场在\(y\)方向无分量，则上式等价于

\[k_{0x}=k_{1x}=k_{2x}\]

        即

\[k_0\sin\theta_0=k_1\sin\theta_1=k_2\sin\theta_2\]

        根据电磁波频率与速度的关系

\[k_0=k_1=\frac{\omega}{v_1},\ \ \ \ \ k_2=\frac{\omega}{v_2}\]

        代入上式可得

\[\theta_0=\theta_1,\ \ \ \ \ \frac{\sin\theta_0}{\sin\theta_2}=\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{\sqrt{\mu_2\varepsilon_2}}{\sqrt{\mu_1\varepsilon_1}}=\frac{n_2}{n_1}\]

        此即为反射与折射的波矢和角度关系

• 下面考虑入射波、反射波和折射波的振幅，假定界面自由电流密度为\(0\)时。当\(\vec{E}\)垂直于入射面，\(\vec{H}\)平行于入射面时，有

\[E_0+E_1=E_2\\\\ H_0\cos\theta_0-H_1\cos\theta_1=H_2\cos\theta_2\]

        将\(H=\sqrt{\varepsilon/\mu}E\)代入可得

\[\sqrt{\varepsilon_1}\left(E_0-E_1\right)\cos\theta_1=\sqrt{\varepsilon_2}E_2\cos\theta_2\]

        结合反射角与折射角的关系，有

\[\left\{ \begin{aligned} \frac{E_1}{E_0}&=-\frac{\sin\left(\theta_0-\theta_2\right)}{\sin\left(\theta_0+\theta_2\right)}\\\\ \frac{E_2}{E_0}&=\frac{2\cos\theta_0\sin\theta_2}{\sin\left(\theta_0+\theta_2\right)} \end{aligned} \right.\]

        当\(\vec{H}\)垂直于入射面，\(\vec{E}\)平行于入射面时，有

\[H_0+H_1=H_2\\\\ E_0\cos\theta_0-E_1\cos\theta_1=E_2\cos\theta_2\]

        将\(H=\sqrt{\varepsilon/\mu}E\)代入可得

\[\sqrt{\varepsilon_1}\left(E_0+E_1\right)=\sqrt{\varepsilon_2}E_2\]

        结合反射角与折射角的关系，有

\[\left\{ \begin{aligned} \frac{E_1}{E_0}&=\frac{\tan\left(\theta_0-\theta_2\right)}{\tan\left(\theta_0+\theta_2\right)}\\\\ \frac{E_2}{E_0}&=\frac{2\cos\theta_0\sin\theta_2}{\sin\left(\theta_0+\theta_2\right)\cos\left(\theta_0-\theta_2\right)} \end{aligned} \right.\]

• 在导体中应用麦克斯韦方程组\(\nabla\cdot\vec{D}=\rho\)，可得到导体中电荷密度与电场的微分方程为

\[\varepsilon\nabla\cdot\vec{E}=\rho\]

        结合微分形式欧姆定律\(\vec{J}=\sigma\vec{E}\)，可以得到

\[\nabla\cdot\vec{J}=\frac{\sigma}{\varepsilon}\rho\]

        而由于电荷密度的变化与电流密度满足关系

\[\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\nabla\cdot\vec{J}\]

        有

\[\frac{\partial \rho}{\partial t}=-\nabla\cdot\vec{J}=-\frac{\sigma}{\varepsilon}\rho\]

        求解此微分方程，可以得到

\[\rho\left(t\right)=\rho_0\mathrm{e}^{-\frac{\sigma}{\varepsilon}t}\]

        其中\(\tau=\sigma/\rho\)，称为电荷密度随时间衰减的特征时间

• 在导体中，麦克斯韦方程组可以写作

\[\left\{ \begin{aligned} &\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\\\ &\nabla\times\vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\\\\ &\nabla\cdot\vec{D}=0\\\\ &\nabla\cdot\vec{B}=0 \end{aligned} \right.\]

        对于一频率为\(\omega\)的电磁波，可令

\[\vec{D}=\varepsilon\vec{E},\ \ \ \ \ \vec{B}=\mu\vec{H}\]

        则麦克斯韦方程组等价于

\[\left\{ \begin{aligned} &\nabla\times\vec{E}=i\omega\mu\vec{H}\\\\ &\nabla\times\vec{H}=-i\omega\varepsilon\vec{E}+\sigma\vec{E}\\\\ &\nabla\cdot\vec{E}=0\\\\ &\nabla\cdot\vec{H}=0 \end{aligned} \right.\]

        因此可以在形式上引入“复电容率”

\[\varepsilon'=\varepsilon+i\frac{\sigma}{\omega}\]

• 电磁波在导体表面会发生反射与折射，在垂直入射时，有

\[E+E'=E'',\ \ \ \ \ H-H'=H''\]

• 有

\[\omega=ck,\ \ \ \ \ k=\frac{\omega}{c}\]

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第五章 电磁波的辐射

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• 考虑真空中的电磁波，麦克斯韦方程组为

\[\left\{ \begin{aligned} &\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\\\\ &\nabla\times\vec{H}=\vec{J}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\\\\ &\nabla\cdot\vec{D}=\rho\\\\ &\nabla\cdot\vec{B}=0 \end{aligned} \right.\]

        由于\(\vec{B}\)是无源的，可以引入磁矢势\(\vec{A}\)，有\(\vec{B}=\nabla\times\vec{A}\)。代入1式，则有

\[\nabla\times\vec{E}=-\nabla\times\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\Leftrightarrow\nabla\times\left(\vec{E}+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}\right)=0\]

        说明括号内的矢量为无旋的，因此可以用标势的负梯度来描述：

\[\vec{E}+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}=-\nabla\varphi\]

        因此电场可以表示为

\[\vec{E}=-\nabla\varphi-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}\]

        此处的\(\varphi\)不再是传统意义上的电势

• 推迟势公式为

\[\vec{A}\left(\vec{x},t\right)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\vec{J}\left(\vec{x}',t-\frac{r}{c}\right)}{r}\mathrm{d}V'\]

        若电流\(\vec{J}\)是一定频率的交变电流，即有

\[\vec{J}\left(\vec{x}',t\right)=\vec{J}\left(x'\right)\mathrm{e}^{-i\omega t}\]

        结合上述两式，有

\[\vec{A}\left(\vec{x},t\right)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\vec{J}\left(x'\right)\mathrm{e}^{i\left(kr-\omega t\right)}}{r}\mathrm{d}V'\]

        若令

\[\vec{A}\left(\vec{x},t\right)=\vec{A}\left(\vec{x}\right)\mathrm{e}^{-i\omega t}\]

        则有

\[\vec{A}\left(\vec{x}\right)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\vec{J}\left(x'\right)\mathrm{e}^{ikr}}{r}\mathrm{d}V'\]

• 电偶极辐射：将推迟势展开，则第一项可以表示为

\[\vec{A}\left(\vec{x}\right)=\frac{\mu_0\mathrm{e}^{ikR}}{4\pi R}\int_V\vec{J}\left(\vec{x}'\right)\mathrm{d}V'\]

        设电流密度表示为\(\vec{J}=\sum_i n_iq_i\vec{v}_i\)，则有

\[\int_V\vec{J}\left(\vec{x}'\right)\mathrm{d}V'=\sum_iq_i\vec{v}_i=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sum q_i\vec{x}_i=\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\dot{\vec{p}}\]

        其中\(p\)为电偶极矩，因此推迟势的第一项代表振荡电偶极矩产生的辐射，即有

\[\vec{A}\left(\vec{x}\right)=\frac{\mu_0\mathrm{e}^{ikR}}{4\pi R}\dot{\vec{p}}\]

        算符\(\nabla\)作用时，仅需对相因子作用，即有

\[\begin{aligned} &\nabla\rightarrow ik\vec{e}_R\\\\ &\frac{\partial}{\partial t}\rightarrow -i\omega \end{aligned}\]

        由此可得辐射场

\[\left\{ \begin{aligned} &\vec{B}=\nabla\times\vec{A}=\frac{i\mu_0k}{4\pi R}\mathrm{e}^{ikR}\vec{e}_R\times\dot{\vec{p}}=\frac{\mathrm{e}^{ikR}}{4\pi\varepsilon_0 c^3R}\ddot{\vec{p}}\times\vec{e}_R\\\\ &\vec{E}=\frac{ic}{k}\nabla\times\vec{B}=c\vec{B}\times\vec{e}_R=\frac{\mathrm{e}^{ikR}}{4\pi\varepsilon_0 c^2R}\left(\ddot{\vec{p}}\times\vec{e}_R\right)\times\vec{e}_R \end{aligned} \right.\]

        在球坐标系中，有

\[\left\{ \begin{aligned} &\vec{B}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 c^3R}\ddot{\vec{p}}\mathrm{e}^{ikR}\sin\theta\vec{e}_\varphi\\\\ &\vec{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0 c^2R}\ddot{\vec{p}}\mathrm{e}^{ikR}\sin\theta\vec{e}_\theta \end{aligned} \right.\]

• 电偶极辐射的总辐射功率为

\[P=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\left|\ddot{\vec{p}}\right|^2}{3c^3}\]

• 磁偶极辐射的电场、磁场可以表示为

\[\left\{ \begin{aligned} &\vec{B}=\frac{\mu_0\mathrm{e}^{ikR}}{4\pi c^2R}\left(\ddot{\vec{m}}\times\vec{e}_R\right)\times\vec{e}_{R}\\\\ &\vec{E}=c\vec{B}\times\vec{e}_{R}=-\frac{\mu_0\mathrm{e}^{ikR}}{4\pi cR}\left(\ddot{\vec{m}}\times\vec{e}_R\right) \end{aligned} \right.\]

        总辐射功率为

\[P=\frac{\mu_0\omega^4\left|\vec{m}\right|^2}{12\pi c^3}\]

• 电磁波的平均辐射功率为

\[\bar{\vec{S}}=\frac{1}{2}\mathrm{Re}\left(\vec{E}^*\times\vec{H}\right)\]

• 电磁场的动量密度为

\[\vec{g}=\varepsilon_0\vec{E}\times\vec{B}=\frac{1}{c^2}\vec{S}\]

• 若考虑圆形线圈，其磁矩振幅为\(m=\pi a^2I\)，代入上式有

\[P=\frac{\mu_0\omega^3\pi a^4I^2}{12c^3}\]

• 电偶极辐射的能流密度为

\[\bar{\vec{S}}=\frac{\mu_0\left|\ddot{\vec{p}}\right|^2}{32\pi^2c^3R^2}\sin^2\theta\vec{e}_R\]

• 磁偶极辐射的能流密度为

\[\bar{\vec{S}}=\frac{\mu_0\omega^4\left|\vec{m}\right|^2}{32\pi^2c^3R^2}\sin^2\theta\vec{e}_R\]

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第一章 费马原理与变折射率光学

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• 折射定律：

\[n_1\sin i_1=n_2\sin i_2\]

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